Бей Абеля, спасай Россию

[kallypigos]

Где-то месяц назад обнаружила, что знакомый кандидат мат. наук (математических, а не тех и не физмат) свято верит, что уравнения степени от 3 и выше неразрешимы в радикалах.
Сегодня встретила такого же Ph.D. (Math) из неплохого американского университета.
Откуда они это взяли, не признаются. Оба учились в советской школе и в советских (российских уже) вузах.
Что это вообще? У нас в каком-то учебнике такая ересь была?

Comments

[kallypigos.livejournal.com]

Так стихи все шуточные. Алгебра вся синтаксис.

Но я понимаю вопрос, и признаюсь, что чтобы мне его обдумать, нужно вернуться к книгам.

Кстати, решается уравнение-то? :)

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

- Опять об Абеля!
- ... Опять об Галуа!
(Идет, спотыкается и падает за кулисы)

$$x=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\sqrt{-\frac{3}{4}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\sqrt{-\frac{3}{4}}}}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}+\frac{1}{\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}}$$

Для основного кубокорня:

>>> x=(-1./2+(math.sqrt(3)/2*1j))**(1./3)+1/((-1./2+(math.sqrt(3)/2*1j))**(1./3))
>>> x
(1.5320888862379558+1.1102230246251565e-16j)
>>> x**3-3*x+1
(-1.3322676295501878e-15+4.487398304055622e-16j)

Мнимая часть ответа в пределах эпсилона, проверка дает ноль в пределах эпсилона, как мне кажется. Эпсилон там большой у пайтоновской арифметики, что у вещественной, что у комплексной.

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

Я вот еще что добавлю к нашим размышлениям.
$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\frac{-p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}$ не сводится к утверждению "корень — это такое число a, что a³ – 3a + 1 = 0". В этой формуле таится еще утверждение "я могу найти численное значение этого корня с помощью шести арифметических действий". Это и есть та семантическая добавка, которую великие алгебраисты назвали в свое время разрешимостью в радикалах. Ее можно сделать для уравнений степени 1<=n<=4, и нельзя сделать для уравнений степени n>4, сколько не "шифруй" ответ.
А вот возможность однозначно расписать все корни для линейного и квадратного, и невозможность --- для кубического и квартического --- это синтаксическое явление.

[kallypigos.livejournal.com]

Да почему же невозможность? В обоих случаях заменяешь в обобщенной формуле алгебраический корень на произведение аналогичного арифметического корня и корня степени n из единицы, получаешь n уравнений с арифметическими корнями.

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

Так в этом же и дело. Нет никакого арифметического или "главного" корня из комплекного числа. Кстати, квадратного из отрицательного числа тоже нет "арифметического".