Бей Абеля, спасай Россию

[kallypigos]

Где-то месяц назад обнаружила, что знакомый кандидат мат. наук (математических, а не тех и не физмат) свято верит, что уравнения степени от 3 и выше неразрешимы в радикалах.
Сегодня встретила такого же Ph.D. (Math) из неплохого американского университета.
Откуда они это взяли, не признаются. Оба учились в советской школе и в советских (российских уже) вузах.
Что это вообще? У нас в каком-то учебнике такая ересь была?

Comments

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

Думаю, это секта Святых Последних Дней Перед Экзаменом, они же Свидетели Ткачука.
Я тоже сталкивался.

[kallypigos.livejournal.com]

В смысле, МЦНМО так вот восемь раз с исправлениями и дополнениями издало книжку, в которой это написано? А что именно там написано? (Я тут в отпуске, и доступ в Интернет по карточкам).

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

«Корни уравнений третьей и более высокой степени находить не умеет никто на свете, в том числе и те, кто сидят в приемных комиссиях. (Отмечу мимоходом, что некоторые учащиеся физико-математических школ, которым рассказывали формулы Кардано для уравнений третьей степени и метод Феррари для уравнений четвертой степени, воображают, будто они умеют решать такие уравнения. Если они настаивают на этом, предложите им найти все корни многочлена x³ – 3x + 1, причем для каждого корня должно быть свое выражение в радикалах. Вы очень быстро поймете, что они дают ответ типа „корень — это такое число a, что a³ – 3a + 1 = 0“; иногда такой ответ чуть более зашифрован, но считать его решением никак невозможно. Впрочем, всякий, кто глубоко освоил метод Кардано, действительно сможет решить те (и только те) уравнения третьей степени, которые имеют единственный корень. …)».

Не знаю про восемь изданий, но присутствует как в восьмом, так и в четырнадцатом :)

[kallypigos.livejournal.com]

Жуть какая. Я как-то без вопросов доверяла МЦНМО.

...Ну что, решать-то будем? :)

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

Я, кажется, понял, в чем здесь дурь. "Для каждого корня должно быть свое выражение в радикалах" бессмысленное выражение применительно к корням из комплексных. У нас просто нотации для этого нет (аналогичной т.н. "арифметическому корню" из действительных). Разумеется, вопрос о разрешимости в радикалах и не предполагает (в общем случае) "своего выражения для каждого корня".

А ты какое решение имеешь в виду: точное в радикалах или приближенное численное? :)

[kallypigos.livejournal.com]

Точное.

Там еще есть вот какая проблемка: обычно под видом "формулы Кардано" дается некоторый метод, который формулой назвать трудно. Ну, формула плюс инструкция.

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

А если я в сумме (для канонического кубика) напишу вместо беты частное минус пэ и трех альф, формула не станет однозначной? Ну, в смысле, трехзначной вместо девятизначной?
В смысле, как ее проф. математик с ходу прочитает?

[kallypigos.livejournal.com]

Где там альфа, где бета, я же не вижу, в какой форме у тебя Кардано?

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

Для $x^3+px+q=0$ вместо $x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ записать $x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\frac{-p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}$.

А?

[kallypigos.livejournal.com]

В зависимости от контекста. Если увижу, что это Кардано, прочитаю правильно.

±a±1/a тоже без бутылки контекста неизвестно, как прочитать, то ли как два значения, то ли как четыре. Это ж не алгебраическая нотация, это syntax sugar на ней.

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

Когда Абель, Галуа, Эйлер обсуждали разрешимость в радикалах, они синтаксический сахар обсуждали или все же алгебраические факты со своей семантикой?

P.S.: Забавно, но ±a∓1/a читается как имеющее не более двух значений :)

[kallypigos.livejournal.com]

Так стихи все шуточные. Алгебра вся синтаксис.

Но я понимаю вопрос, и признаюсь, что чтобы мне его обдумать, нужно вернуться к книгам.

Кстати, решается уравнение-то? :)

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

- Опять об Абеля!
- ... Опять об Галуа!
(Идет, спотыкается и падает за кулисы)

$$x=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\sqrt{-\frac{3}{4}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\sqrt{-\frac{3}{4}}}}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}+\frac{1}{\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}}$$

Для основного кубокорня:

>>> x=(-1./2+(math.sqrt(3)/2*1j))**(1./3)+1/((-1./2+(math.sqrt(3)/2*1j))**(1./3))
>>> x
(1.5320888862379558+1.1102230246251565e-16j)
>>> x**3-3*x+1
(-1.3322676295501878e-15+4.487398304055622e-16j)

Мнимая часть ответа в пределах эпсилона, проверка дает ноль в пределах эпсилона, как мне кажется. Эпсилон там большой у пайтоновской арифметики, что у вещественной, что у комплексной.

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

Я вот еще что добавлю к нашим размышлениям.
$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\frac{-p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}$ не сводится к утверждению "корень — это такое число a, что a³ – 3a + 1 = 0". В этой формуле таится еще утверждение "я могу найти численное значение этого корня с помощью шести арифметических действий". Это и есть та семантическая добавка, которую великие алгебраисты назвали в свое время разрешимостью в радикалах. Ее можно сделать для уравнений степени 1<=n<=4, и нельзя сделать для уравнений степени n>4, сколько не "шифруй" ответ.
А вот возможность однозначно расписать все корни для линейного и квадратного, и невозможность --- для кубического и квартического --- это синтаксическое явление.

[kallypigos.livejournal.com]

Да почему же невозможность? В обоих случаях заменяешь в обобщенной формуле алгебраический корень на произведение аналогичного арифметического корня и корня степени n из единицы, получаешь n уравнений с арифметическими корнями.

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

Так в этом же и дело. Нет никакого арифметического или "главного" корня из комплекного числа. Кстати, квадратного из отрицательного числа тоже нет "арифметического".

[lev-usyskin.livejournal.com]

напротив, массовым тиражом выходила популярная книжка "Джироламо Кардано" где все обяснялось как надо. Но практика склонна преозмогать теорию.

п.С. Проезжал с дочерью мимо вашего города на юг на машине. Обратно поеду в 20 - е числа. могли бы посидеть за чашкою кофе если есть желание и.или возможность.

[kallypigos.livejournal.com]

1) Да понятно, что не было, вопрос чисто риторический.

2) Спасибо, но вряд ли получится.