Бей Абеля, спасай Россию

[kallypigos]

Где-то месяц назад обнаружила, что знакомый кандидат мат. наук (математических, а не тех и не физмат) свято верит, что уравнения степени от 3 и выше неразрешимы в радикалах.
Сегодня встретила такого же Ph.D. (Math) из неплохого американского университета.
Откуда они это взяли, не признаются. Оба учились в советской школе и в советских (российских уже) вузах.
Что это вообще? У нас в каком-то учебнике такая ересь была?

Comments

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

Я, кажется, понял, в чем здесь дурь. "Для каждого корня должно быть свое выражение в радикалах" бессмысленное выражение применительно к корням из комплексных. У нас просто нотации для этого нет (аналогичной т.н. "арифметическому корню" из действительных). Разумеется, вопрос о разрешимости в радикалах и не предполагает (в общем случае) "своего выражения для каждого корня".

А ты какое решение имеешь в виду: точное в радикалах или приближенное численное? :)

[kallypigos.livejournal.com]

Точное.

Там еще есть вот какая проблемка: обычно под видом "формулы Кардано" дается некоторый метод, который формулой назвать трудно. Ну, формула плюс инструкция.

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

А если я в сумме (для канонического кубика) напишу вместо беты частное минус пэ и трех альф, формула не станет однозначной? Ну, в смысле, трехзначной вместо девятизначной?
В смысле, как ее проф. математик с ходу прочитает?

[kallypigos.livejournal.com]

Где там альфа, где бета, я же не вижу, в какой форме у тебя Кардано?

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

Для $x^3+px+q=0$ вместо $x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ записать $x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\frac{-p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}$.

А?

[kallypigos.livejournal.com]

В зависимости от контекста. Если увижу, что это Кардано, прочитаю правильно.

±a±1/a тоже без бутылки контекста неизвестно, как прочитать, то ли как два значения, то ли как четыре. Это ж не алгебраическая нотация, это syntax sugar на ней.

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

Когда Абель, Галуа, Эйлер обсуждали разрешимость в радикалах, они синтаксический сахар обсуждали или все же алгебраические факты со своей семантикой?

P.S.: Забавно, но ±a∓1/a читается как имеющее не более двух значений :)

[kallypigos.livejournal.com]

Так стихи все шуточные. Алгебра вся синтаксис.

Но я понимаю вопрос, и признаюсь, что чтобы мне его обдумать, нужно вернуться к книгам.

Кстати, решается уравнение-то? :)

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

- Опять об Абеля!
- ... Опять об Галуа!
(Идет, спотыкается и падает за кулисы)

$$x=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\sqrt{-\frac{3}{4}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\sqrt{-\frac{3}{4}}}}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}+\frac{1}{\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}}$$

Для основного кубокорня:

>>> x=(-1./2+(math.sqrt(3)/2*1j))**(1./3)+1/((-1./2+(math.sqrt(3)/2*1j))**(1./3))
>>> x
(1.5320888862379558+1.1102230246251565e-16j)
>>> x**3-3*x+1
(-1.3322676295501878e-15+4.487398304055622e-16j)

Мнимая часть ответа в пределах эпсилона, проверка дает ноль в пределах эпсилона, как мне кажется. Эпсилон там большой у пайтоновской арифметики, что у вещественной, что у комплексной.

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

Я вот еще что добавлю к нашим размышлениям.
$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\frac{-p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}$ не сводится к утверждению "корень — это такое число a, что a³ – 3a + 1 = 0". В этой формуле таится еще утверждение "я могу найти численное значение этого корня с помощью шести арифметических действий". Это и есть та семантическая добавка, которую великие алгебраисты назвали в свое время разрешимостью в радикалах. Ее можно сделать для уравнений степени 1<=n<=4, и нельзя сделать для уравнений степени n>4, сколько не "шифруй" ответ.
А вот возможность однозначно расписать все корни для линейного и квадратного, и невозможность --- для кубического и квартического --- это синтаксическое явление.

[kallypigos.livejournal.com]

Да почему же невозможность? В обоих случаях заменяешь в обобщенной формуле алгебраический корень на произведение аналогичного арифметического корня и корня степени n из единицы, получаешь n уравнений с арифметическими корнями.

[otstavnov.com (from livejournal.com)]

Так в этом же и дело. Нет никакого арифметического или "главного" корня из комплекного числа. Кстати, квадратного из отрицательного числа тоже нет "арифметического".