kallypigos: (fox_high)
[personal profile] kallypigos
Где-то месяц назад обнаружила, что знакомый кандидат мат. наук (математических, а не тех и не физмат) свято верит, что уравнения степени от 3 и выше неразрешимы в радикалах.
Сегодня встретила такого же Ph.D. (Math) из неплохого американского университета.
Откуда они это взяли, не признаются. Оба учились в советской школе и в советских (российских уже) вузах.
Что это вообще? У нас в каком-то учебнике такая ересь была?
Date: 2013-08-04 08:06 pm (UTC)

From: [identity profile] otstavnov.com (from livejournal.com)
Думаю, это секта Святых Последних Дней Перед Экзаменом, они же Свидетели Ткачука.
Я тоже сталкивался.
Date: 2013-08-06 06:17 pm (UTC)

From: [identity profile] kallypigos.livejournal.com
В смысле, МЦНМО так вот восемь раз с исправлениями и дополнениями издало книжку, в которой это написано? А что именно там написано? (Я тут в отпуске, и доступ в Интернет по карточкам).
Date: 2013-08-06 06:45 pm (UTC)

From: [identity profile] otstavnov.com (from livejournal.com)
«Корни уравнений третьей и более высокой степени находить не умеет никто на свете, в том числе и те, кто сидят в приемных комиссиях. (Отмечу мимоходом, что некоторые учащиеся физико-математических школ, которым рассказывали формулы Кардано для уравнений третьей степени и метод Феррари для уравнений четвертой степени, воображают, будто они умеют решать такие уравнения. Если они настаивают на этом, предложите им найти все корни многочлена x3 – 3x + 1, причем для каждого корня должно быть свое выражение в радикалах. Вы очень быстро поймете, что они дают ответ типа „корень — это такое число a, что a3 – 3a + 1 = 0“; иногда такой ответ чуть более зашифрован, но считать его решением никак невозможно. Впрочем, всякий, кто глубоко освоил метод Кардано, действительно сможет решить те (и только те) уравнения третьей степени, которые имеют единственный корень. …)».

Не знаю про восемь изданий, но присутствует как в восьмом, так и в четырнадцатом :)
Date: 2013-08-08 05:41 pm (UTC)

From: [identity profile] kallypigos.livejournal.com
Жуть какая. Я как-то без вопросов доверяла МЦНМО.

...Ну что, решать-то будем? :)
Date: 2013-08-10 02:59 pm (UTC)

From: [identity profile] otstavnov.com (from livejournal.com)
Я, кажется, понял, в чем здесь дурь. "Для каждого корня должно быть свое выражение в радикалах" бессмысленное выражение применительно к корням из комплексных. У нас просто нотации для этого нет (аналогичной т.н. "арифметическому корню" из действительных). Разумеется, вопрос о разрешимости в радикалах и не предполагает (в общем случае) "своего выражения для каждого корня".

А ты какое решение имеешь в виду: точное в радикалах или приближенное численное? :)
Edited Date: 2013-08-10 03:03 pm (UTC)
Date: 2013-08-10 07:22 pm (UTC)

From: [identity profile] kallypigos.livejournal.com
Точное.

Там еще есть вот какая проблемка: обычно под видом "формулы Кардано" дается некоторый метод, который формулой назвать трудно. Ну, формула плюс инструкция.
Date: 2013-08-11 04:24 pm (UTC)

From: [identity profile] otstavnov.com (from livejournal.com)
А если я в сумме (для канонического кубика) напишу вместо беты частное минус пэ и трех альф, формула не станет однозначной? Ну, в смысле, трехзначной вместо девятизначной?
В смысле, как ее проф. математик с ходу прочитает?
Edited Date: 2013-08-11 04:27 pm (UTC)
Date: 2013-08-11 04:42 pm (UTC)

From: [identity profile] kallypigos.livejournal.com
Где там альфа, где бета, я же не вижу, в какой форме у тебя Кардано?
Date: 2013-08-11 04:46 pm (UTC)

From: [identity profile] otstavnov.com (from livejournal.com)
Для $x^3+px+q=0$ вместо $x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$ записать $x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\frac{-p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}$.

А?
Edited Date: 2013-08-11 04:47 pm (UTC)
Date: 2013-08-11 05:13 pm (UTC)

From: [identity profile] kallypigos.livejournal.com
В зависимости от контекста. Если увижу, что это Кардано, прочитаю правильно.

±a±1/a тоже без бутылки контекста неизвестно, как прочитать, то ли как два значения, то ли как четыре. Это ж не алгебраическая нотация, это syntax sugar на ней.
Date: 2013-08-11 05:31 pm (UTC)

From: [identity profile] otstavnov.com (from livejournal.com)
Когда Абель, Галуа, Эйлер обсуждали разрешимость в радикалах, они синтаксический сахар обсуждали или все же алгебраические факты со своей семантикой?

P.S.: Забавно, но ±a∓1/a читается как имеющее не более двух значений :)
Edited Date: 2013-08-11 05:32 pm (UTC)
Date: 2013-08-11 07:38 pm (UTC)

From: [identity profile] kallypigos.livejournal.com
Так стихи все шуточные. Алгебра вся синтаксис.

Но я понимаю вопрос, и признаюсь, что чтобы мне его обдумать, нужно вернуться к книгам.

Кстати, решается уравнение-то? :)
Date: 2013-08-11 08:08 pm (UTC)

From: [identity profile] otstavnov.com (from livejournal.com)
- Опять об Абеля!
- ... Опять об Галуа!
(Идет, спотыкается и падает за кулисы)

$$x=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\sqrt{-\frac{3}{4}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\sqrt{-\frac{3}{4}}}}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}+\frac{1}{\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}}$$

Для основного кубокорня:
>>> x=(-1./2+(math.sqrt(3)/2*1j))**(1./3)+1/((-1./2+(math.sqrt(3)/2*1j))**(1./3))
>>> x
(1.5320888862379558+1.1102230246251565e-16j)
>>> x**3-3*x+1
(-1.3322676295501878e-15+4.487398304055622e-16j)
Мнимая часть ответа в пределах эпсилона, проверка дает ноль в пределах эпсилона, как мне кажется. Эпсилон там большой у пайтоновской арифметики, что у вещественной, что у комплексной.
Date: 2013-08-11 09:08 pm (UTC)

From: [identity profile] otstavnov.com (from livejournal.com)
Я вот еще что добавлю к нашим размышлениям.
$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\frac{-p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}$ не сводится к утверждению "корень — это такое число a, что a3 – 3a + 1 = 0". В этой формуле таится еще утверждение "я могу найти численное значение этого корня с помощью шести арифметических действий". Это и есть та семантическая добавка, которую великие алгебраисты назвали в свое время разрешимостью в радикалах. Ее можно сделать для уравнений степени 1<=n<=4, и нельзя сделать для уравнений степени n>4, сколько не "шифруй" ответ.
А вот возможность однозначно расписать все корни для линейного и квадратного, и невозможность --- для кубического и квартического --- это синтаксическое явление.
Edited Date: 2013-08-11 09:12 pm (UTC)
Date: 2013-08-13 12:43 pm (UTC)

From: [identity profile] kallypigos.livejournal.com
Да почему же невозможность? В обоих случаях заменяешь в обобщенной формуле алгебраический корень на произведение аналогичного арифметического корня и корня степени n из единицы, получаешь n уравнений с арифметическими корнями.
Edited Date: 2013-08-13 12:43 pm (UTC)
Date: 2013-08-13 05:14 pm (UTC)

From: [identity profile] otstavnov.com (from livejournal.com)
Так в этом же и дело. Нет никакого арифметического или "главного" корня из комплекного числа. Кстати, квадратного из отрицательного числа тоже нет "арифметического".
Date: 2013-08-05 02:05 pm (UTC)

From: [identity profile] lev-usyskin.livejournal.com
напротив, массовым тиражом выходила популярная книжка "Джироламо Кардано" где все обяснялось как надо. Но практика склонна преозмогать теорию.

п.С. Проезжал с дочерью мимо вашего города на юг на машине. Обратно поеду в 20 - е числа. могли бы посидеть за чашкою кофе если есть желание и.или возможность.
Date: 2013-08-06 06:15 pm (UTC)

From: [identity profile] kallypigos.livejournal.com
1) Да понятно, что не было, вопрос чисто риторический.

2) Спасибо, но вряд ли получится.

Profile

kallypigos: (Default)
kallypigos

May 2017

S M T W T F S
 123456
78910111213
14151617181920
21222324 2526 27
28293031   

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 22nd, 2017 06:40 pm
Powered by Dreamwidth Studios